Как уже писал, я сохранил ГРЗ со старого мотоцикла и сдал его на хранение.
Теперь задача поставить номер на новый мотоцикл.

Чтобы не стоять в очереди, опять заходим на сайт госуслуг в личный кабинет и в «Категориях услуг» выбираем «Транспорт и вождение».
Далее: «Регистрация транспортного средства».
Далее: "Утеря документов или изменения данных ТС".
Далее: "Получение СТС, ПТС или регистрационных знаков взамен утраченных или непригодных для использования".

Вводим необходимые данные, выбираем подразделение ГИБДД (где сдавали ГРЗ), дату и время.
Госпошлины здесь следующие:
- 1'500 рублей - за выдачу регистрационных знаков на мототранспортные средства и прицепы;
- 500 рублей - за выдачу свидетельства о регистрации ТС;
- 350 рублей - за внесение изменений в выданный ранее паспорт ТС;

Итого: 2'350
Оплата через сайт с 30% скидкой: 1'645.

Приходим в отдел с документами:
- ПТС
- СоР
- паспорт
- квитанцию можно распечатать заранее, можно сохранить в телефоне, можно показать в "СберБанк онлайн". Проходит любой вариант.

Говорите, что хотите поставить номер, находящийся на хранении и называете его данные.

Вам распечатывают заявление. Подписываете. Выходите и ждёте когда внесут изменения и напечатают новое СоР.

Вызывают по фамилии, отдают ПТС с изменениями, новое СоР и паспорт.

Идёте в кабинет-склад и по СоР выдают ваши новые старые номера.
Всё.

Туда-сюда заняло минут 40.

Старый ГРЗ можете сдать прямо там, можете выкинуть, можете вставить в рамку и повесить себе на стенку.
Использовать его по прямому назначению больше нельзя. (Но, кстати, и этот номер, если хотите, тоже можно сдать на хранение. На 365 суток.)